Кантор бы удивился, Гёдель бы одобрил. Математики выяснили, что одна бесконечность может быть не больше и не меньше другой
Математик Уильям Чан из Венского технического университета предложил новый способ сравнения бесконечностей. Вместо привычной иерархии, где каждая следующая бесконечность больше предыдущей, исследователь построил двумерную систему, позволяющую описывать структуры, которые раньше с трудом поддавались классификации.
Работа под названием The ABCD Hypothesis опубликована 29 октября 2026 года в журнале Proceedings of the National Academy of Sciences. Чан доказал, что при определённых математических предпосылках целый класс бесконечных множеств подчиняется неожиданно простому правилу. Для сравнения их размеров достаточно учитывать две характеристики, причём некоторые бесконечности вообще невозможно однозначно расположить по принципу «больше или меньше».
На первый взгляд сама идея разных размеров бесконечности кажется противоречивой. Натуральных чисел бесконечно много, но чётных чисел тоже бесконечно много, хотя среди натуральных встречаются ещё и нечётные. Тем не менее математически оба множества одинаковы по размеру. Каждому натуральному числу можно сопоставить одно чётное, умножив его на два. Подобное взаимно однозначное соответствие позволяет сравнивать множества, даже когда пересчитать их элементы невозможно.
В конце XIX века Георг Кантор доказал, что далеко не все бесконечности равны. Множество действительных чисел, включающее бесконечные десятичные дроби, имеет большую мощность, чем множество натуральных чисел. Никакой способ нумерации не позволит перечислить все действительные числа без пропусков. Открытие положило начало теории бесконечностей, в которой множества различаются по количеству элементов, несмотря на отсутствие конечных границ.
Однако дальнейшее изучение бесконечности привело к проблеме, которую математики не смогли разрешить привычными методами. Существует ли бесконечное множество, размер которого больше множества натуральных чисел, но меньше множества действительных? Вопрос получил название континуум-гипотезы. В XX веке Курт Гёдель и Пол Коэн установили, что стандартная теория множеств с аксиомой выбора не позволяет ни доказать, ни опровергнуть континуум-гипотезу.
Аксиома выбора представляет собой одно из фундаментальных положений современной математики. В упрощённом виде она утверждает, что из каждого множества в произвольной совокупности непустых множеств можно выбрать по одному элементу, даже если совокупность бесконечна и конкретный способ выбора неизвестен. Благодаря аксиоме любые два множества можно сравнить по мощности, а все бесконечности выстроить в единую иерархию.
Чан исследовал альтернативную математическую систему, в которой аксиома выбора не принимается. Вместо неё используется аксиома детерминированности, предложенная в рамках исследований математической логики в 1960-х годах. Она утверждает, что в определённом классе бесконечных игр двух участников хотя бы один игрок обязательно располагает выигрышной стратегией. Подобные игры служат строгим математическим инструментом для изучения свойств бесконечных множеств.
Отказ от аксиомы выбора меняет сам принцип сравнения бесконечностей. В привычной системе для любых двух множеств можно определить, какое из них больше либо имеют ли они одинаковую мощность. В альтернативной системе встречаются пары множеств, для которых ни одно не удаётся сопоставить с частью другого посредством взаимно однозначного отображения. Поэтому вместо единственной шкалы размеров исследователь рассматривает двумерную структуру с частичным порядком.
Основой новой классификации стали множества всех возможных функций из одного бесконечного множества в другое. Количество подобных функций можно представить как возведение одной мощности в другую, по аналогии с обычным возведением чисел в степень. Например, число всевозможных бесконечных последовательностей из десяти цифр соответствует мощности множества действительных чисел. Если же и количество допустимых значений, и количество позиций бесконечны, возникают значительно более сложные структуры.
Для их описания Чан сформулировал гипотезу ABCD. Каждая рассматриваемая бесконечность задаётся двумя параметрами, условно обозначенными буквами A и B. Другая определяется параметрами C и D. В исследованной математической модели первая конструкция не превосходит вторую по мощности тогда и только тогда, когда обе её характеристики не превосходят соответствующие характеристики второй. Если одна конструкция имеет больший первый параметр, но меньший второй, их мощности оказываются несравнимыми.
Получается своеобразная карта бесконечностей. Каждой конструкции соответствует точка с двумя координатами, а отношение между размерами определяется положением точек. Если одна точка находится выше другой по обеим координатам, соответствующие бесконечности можно упорядочить. Если преимущества распределены между разными координатами, однозначного сравнения нет. Подобная система сохраняет строгие математические правила, хотя привычная линейная иерархия исчезает.
Доказательство имеет существенное ограничение. Чан установил справедливость гипотезы ABCD при аксиоме детерминированности и дополнительном условии V = L(R), означающем, что рассматриваемая математическая вселенная строится из действительных чисел специальным способом. Результат распространяется на определённый начальный класс мощностей, ограниченный величиной Θ, связанной с возможными отображениями множества действительных чисел на порядковые числа. Поэтому работа не утверждает, что все мыслимые бесконечности уже удалось классифицировать.
Новый подход не решает континуум-гипотезу в стандартной математике и не опровергает результаты Кантора, Гёделя или Коэна. Исследователь показал, что при другом выборе исходных аксиом сложная система бесконечных мощностей может обладать значительно более простой структурой. Причём известные математические результаты удаётся согласовать с новой классификацией без возникновения противоречий внутри рассматриваемой модели.
Непосредственных практических применений у доказательства пока нет. Работа относится к фундаментальной теории множеств и математической логике, где исследователи изучают, какие утверждения следуют из выбранных аксиом и какие свойства бесконечных объектов можно строго установить. Главный результат Чана заключается в том, что отказ от обязательного линейного порядка позволяет обнаружить закономерности, остававшиеся скрытыми в привычной системе сравнения бесконечностей.