Почему математики боятся искусственного интеллекта, способного доказать гипотезу Римана
Машина, способная решить главную загадку простых чисел, будет уже не помощником, а интеллектом другого класса.
Математики готовы отдать искусственному интеллекту (ИИ) одну из самых желанных побед в истории науки, но с оговоркой. Если машина когда-нибудь докажет гипотезу Римана, радость может быстро смениться тревогой. «ИИ, который способен доказать гипотезу Римана, не из тех, с кем я хотел бы встретиться», сказал теоретик чисел из MIT Эндрю Сазерленд на семинаре в Гарварде. По его словам, при таком сценарии вопрос рабочих мест для математиков окажется далеко не главной проблемой.
Гипотеза Римана уже больше 160 лет остается одной из центральных нерешенных задач математики. Бернхард Риман сформулировал предположение в 1859 году, Дэвид Гильберт включил задачу в знаменитый список математических проблем XX века, а в 2000 году Институт Клэя назначил награду в $1 млн за доказательство. Гипотеза вошла в число семи задач тысячелетия, но солидная премия не ускорила путь к решению. Математики по-прежнему не знают, как подступиться к доказательству.
Причина такого статуса связана с простыми числами. Простые числа делятся только на единицу и самих себя, а все остальные целые числа раскладываются на произведение простых множителей. Евклид еще около 300 года до нашей эры доказал, что простых чисел бесконечно много, но математики до сих пор не умеют точно объяснять, почему простые числа расположены на числовой прямой именно так. Чем дальше двигаться по числовой прямой, тем реже встречаются простые числа, но конкретное появление каждого нового простого числа выглядит почти случайным.
Карл Фридрих Гаусс в конце XVIII века заметил в такой случайности общий порядок. Изучая таблицы разложений чисел, Гаусс увидел, что плотность простых чисел постепенно падает и подчиняется довольно устойчивому закону. Его формула позволяла примерно оценить, сколько простых чисел встретится до заданного предела. Но примерная оценка не давала главного - точного ответа, где находится каждое простое число.
Риман предложил смотреть на проблему через дзета-функцию, которая принимает на вход комплексные числа. Комплексное число состоит из вещественной части и мнимой части, а на плоскости такой объект можно представить как точку с двумя координатами. Дзета-функция Римана каждому такому входу ставит в соответствие новое комплексное число. В отдельных точках значение функции становится нулем, и именно расположение таких нулей оказалось связано с распределением простых чисел.
Риман понял, что нули дзета-функции описывают ошибку в приближенной формуле Гаусса. Если формула Гаусса дает грубый силуэт распределения простых чисел, то нули дзета-функции добавляют к силуэту тонкую настройку. Математики часто сравнивают такую картину с музыкальными гармониками. Каждый ноль задает собственную «ноту», а сумма таких нот уточняет расположение простых чисел. Чем лучше математики понимают нули дзета-функции, тем точнее математики понимают простые числа.
Гипотеза Римана утверждает, что все нетривиальные нули дзета-функции лежат на одной вертикальной линии комплексной плоскости. У всех таких нулей вещественная часть должна равняться 1/2. Первые нули действительно подходят под эту картину, и вычисления давно проверили огромное количество случаев. Но проверка миллиардов или триллионов точек не заменяет доказательство для бесконечного множества. Математикам нужно показать, что ни один ноль дзета-функции не сойдет с критической линии никогда.
Если гипотеза Римана верна, математики получат намного более точный контроль над простыми числами. Такое знание повлияет на теорию чисел, криптографию и смежные области, где простые числа играют ключевую роль. Гипотеза также неожиданно связана с физикой. В 1972 году физик Фримен Дайсон заметил, что статистика нулей дзета-функции напоминает статистику энергетических уровней атомных ядер. Позже похожие связи находили в хаосе, движении частиц и теориях, связанных с черными дырами.
Математики уже десятилетиями используют гипотезу Римана как условный фундамент. В научных статьях часто встречаются результаты вида «если гипотеза Римана верна, то верно и следующее утверждение». Такой подход позволяет продвигаться дальше, не имея главного доказательства. Похожая логика распространилась на целые семейства L-функций. Для разных математических объектов существуют собственные аналоги дзета-функции, а вместе с ними и обобщенные гипотезы Римана. Если все такие нули лежат на своих критических линиях, математика получает огромный набор новых точных инструментов.
Проблема в том, что прямой дороги к доказательству не видно. Математик Алекс Конторович из Ратгерского университета говорит, что вокруг гипотезы Римана почти ничего не происходит, а серьезного прогресса ждать трудно. Джеймс Мейнард из Оксфорда признает, что у него нет хорошей идеи, с чего начинать решение. Гипотеза одновременно считается самой знаменитой и одной из самых неудобных задач математики. Многие исследователи предпочитают работать с проблемами, где есть шанс продвинуться существующими методами.
Самый заметный недавний шаг сделали Джеймс Мейнард и Ларри Гут из MIT. Два года назад математики улучшили оценку, которая ограничивает возможное расположение нулей дзета-функции относительно критической линии. Результат стал крупнейшим продвижением за десятилетия, но даже авторы считают работу скорее обходным путем, чем началом прямой атаки на гипотезу. Улучшение оказалось очень небольшим, что только подчеркнуло масштаб барьера.
Именно поэтому разговор об ИИ звучит двусмысленно. С одной стороны, многие математики были бы счастливы увидеть доказательство, даже если доказательство найдет машина. Мейнард прямо говорит, что был бы в восторге от понятного доказательства, независимо от автора - человека, инопланетянина или ИИ. С другой стороны, машина, способная самостоятельно решить гипотезу Римана, почти наверняка должна обладать математической мощью, выходящей далеко за рамки современных больших языковых моделей. Такой ИИ не просто помог бы математикам, а показал бы, что человечество столкнулось с интеллектом совершенно другого класса.