Способен ли квантовый компьютер решить задачу, перед которой математики пасуют 167 лет?
Гипотеза Римана уже 167 лет остаётся одной из самых трудных нерешённых задач математики. Бернхард Риман предположил, что кажущееся беспорядочным распределение простых чисел подчиняется строгой закономерности, связанной с дзета-функцией Римана. За доказательство назначена премия в миллион долларов, однако математического решения до сих пор нет. Теперь исследователи перенесли часть задачи на квантовый процессор: определённым нулям дзета-функции в созданной ими физической системе соответствуют динамические квантовые фазовые переходы.
Чтобы понять смысл эксперимента, сначала придётся разобраться с самой функцией. Дзета-функция Римана ζ(s) зависит от комплексного числа s = σ + it. Число состоит из вещественной части σ и мнимой части t, умноженной на мнимую единицу i, для которой i² = -1. При σ > 1 функцию можно записать в виде бесконечного ряда:
ζ(s) = 1/1ˢ + 1/2ˢ + 1/3ˢ + ...
Для остальных значений, кроме особой точки s = 1, математики используют аналитическое продолжение, которое расширяет область определения функции за пределы исходного сходящегося ряда.
Главная загадка связана с нулями дзета-функции, то есть значениями s, при которых ζ(s) обращается в ноль. Часть нулей давно известна: функция равна нулю при отрицательных чётных числах -2, -4, -6 и далее. Их называют тривиальными. Гипотеза Римана касается остальных, нетривиальных нулей, расположенных в критической полосе 0 < σ < 1.
Риман предположил, что вещественная часть каждого нетривиального нуля всегда равна 1/2. Иначе говоря, все нетривиальные нули должны лежать на критической прямой Re(s) = 1/2. Компьютеры уже проверили огромное количество нулей и пока не нашли исключений, но конечная проверка не заменяет доказательство для бесконечного множества значений. Единственного нетривиального нуля с вещественной частью, отличной от 1/2, хватит, чтобы опровергнуть гипотезу и получить право претендовать на премию Института Клэя в миллион долларов.
Интерес к нулям связан не только с самой функцией. Их расположение тесно связано с распределением простых чисел, которые делятся без остатка только на единицу и на самих себя. Простые числа встречаются на числовой прямой всё реже по мере роста чисел, но расстояния между соседними простыми не образуют простой периодической последовательности. Дзета-функция позволяет описывать скрытые закономерности этого распределения, а положение её нетривиальных нулей определяет точность многих оценок в теории простых чисел.
Больше века задача оставалась почти исключительно математической. Неожиданная связь с физикой обнаружилась в 1972 году, когда математик Хью Монтгомери обсуждал дзета-функцию с физиком Фрименом Дайсоном. Статистика расстояний между высоко расположенными нулями функции оказалась похожа на статистические закономерности энергетических уровней сложных квантовых систем, которые описывают методами теории случайных матриц.
Совпадение породило давнюю идею: возможно, существует квантовая система, спектр которой напрямую связан с нетривиальными нулями дзета-функции. Если найти подходящий физический объект, математические свойства нулей можно будет изучать через его измеряемые параметры. За последующие десятилетия физики и математики предложили разные варианты связи, но универсальную систему, энергетические уровни которой точно воспроизводили бы нужные нули, найти не удалось.
Авторы новой работы выбрали другой путь. Вместо поиска подходящего энергетического спектра они связали дзета-функцию с динамикой квантовой многочастичной системы. В модели взаимодействующие квантовые объекты эволюционируют во времени, а при определённых параметрах система переживает динамический квантовый фазовый переход.
Обычный фазовый переход знаком по превращению воды в лёд или пар, когда изменение температуры переводит вещество из одного состояния в другое. Динамический квантовый фазовый переход устроен иначе. Он возникает во время неравновесной эволюции квантовой системы и проявляется как резкое изменение определённой физической величины в конкретный момент времени. Поэтому вода служит лишь наглядной аналогией резкой смены режима, а не точной моделью происходящего внутри квантового процессора.
Исследователи построили соответствие между параметрами квантовой системы и комплексным аргументом дзета-функции. Температурный параметр кодирует вещественную часть s, а время эволюции связано с мнимой частью. При определённом сочетании параметров в системе возникает динамический квантовый фазовый переход. Математически момент перехода соответствует значению аргумента, при котором дзета-функция имеет нетривиальный ноль.
Связь даёт физический способ искать возможное нарушение гипотезы Римана. Квантовую систему можно подготовить при параметре, соответствующем вещественной части, отличной от 1/2, затем запустить эволюцию и отслеживать фазовые переходы. Обнаружение перехода при таком значении укажет на ноль дзета-функции за пределами критической прямой Re(s) = 1/2. Подтверждённый ноль сразу опровергнет гипотезу.
Эксперимент пока не принёс сенсационного контрпримера. Проверку провели на квантовом процессоре с системой из пяти взаимодействующих элементов, которые играют роль кубитов. Кубит служит базовой единицей квантовых вычислений. В отличие от классического бита, принимающего значение 0 или 1, квантовое состояние кубита допускает суперпозицию базовых состояний, а несколько связанных кубитов могут образовывать запутанные состояния.
Пяти кубитов недостаточно, чтобы исследовать неизвестную математикам область дзета-функции. Эксперимент подтвердил работу предложенной схемы на уже известных нулях. Ни одного нового нуля за пределами критической прямой исследователи не обнаружили, поэтому гипотеза Римана после эксперимента остаётся ни доказанной, ни опровергнутой.
Авторы также оценили вычислительную сложность метода. Предложенный квантовый алгоритм сканирует область поиска нулей эффективнее используемого для сравнения классического подхода и требует ресурсов, которые растут полиномиально с размером задачи. Преимущество возникает из самой конструкции: нужная математическая информация кодируется в динамике квантовой системы, а поиск нулей связывается с обнаружением фазовых переходов.
Практическая ценность схемы будет зависеть от масштабирования квантового оборудования. По оценке исследователей, система примерно из 100 кубитов сможет проверять больше нулей, чем доступно существующим вычислительным методам в рассматриваемой ими постановке. Даже такой результат не докажет гипотезу, поскольку проверка любого конечного числа нулей оставляет бесконечно много непроверенных значений. Зато квантовый процессор сможет искать возможный контрпример дальше диапазона, доступного выбранному классическому алгоритму.
Идея связать теорию чисел с квантовыми вычислениями появилась у авторов около десяти лет назад после работ, посвящённых формуле обращения Мёбиуса. Формула обращения Мёбиуса используется в теории чисел для восстановления одной арифметической функции из сумм значений другой функции по делителям числа. Увидев квантовый подход к этой математической конструкции, исследователи решили проверить, можно ли связать квантовую систему и с гипотезой Римана.
Новая работа развивает направление, возникшее после наблюдения Монтгомери и Дайсона более полувека назад. Однако квантовый эксперимент не заменяет математического доказательства и пока не дал неизвестных нулей. Его результат гораздо конкретнее: исследователи построили физическую систему, в которой параметры дзета-функции кодируются в квантовой динамике, а её нули соответствуют динамическим квантовым фазовым переходам. Следующий практический рубеж зависит от числа доступных кубитов: при масштабировании примерно до 100 элементов установка сможет проверить область, до которой использованный для сравнения классический метод уже не добирается.